Miremos bien este límite: $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2x^{2}}{x^{2}+1}$ Fijate que cuando $x$ tiende a más infinito, tanto numerador como denominador se están yendo a infinito, por lo tanto tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". Pero fijate que tanto el numerador como el denominador son polinomios, por lo tanto podemos seguir las mismas ideas que vimos en la clase de indeterminaciones infinito sobre infinito. Acordate que cuando los grados de los polinomios son iguales, el límite nos va a dar un número. Y no a cualquier número, sino a los que acompañan a la $x$ de exponente mayor. En este caso, podemos anticipar que el resultado del límite será $\frac{2}{1}$. Si queremos justificarlo de manera más formal, podemos "sacar factor común el que manda". En este caso sacamos factor común $x^2$ tanto en el numerador como en el denominador: $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2x^{2}}{x^{2}(1+\frac{1}{x^{2}})}$ Cancelamos los $x^2$ $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2}{1+\frac{1}{x^{2}}}$ Ahora, al tomar el límite cuando $x$ tiende a infinito, el término $\frac{1}{x^{2}}$ tiende a 0. Por lo tanto, efectivamente el límite nos dio... $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2x^{2}}{x^{2}+1} = \frac{2}{1} = 2$